2次元または3次元の座標を定義

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「二点間の距離の公式を試験中にど忘れしてパニックになった」――大手予備校関係者への取材でも、共通テストや定期試験で毎年必ず報告される典型的な失点パターンのひとつです。暗記に頼る学習者がつまずく最大の原因は、数式の記号（プラス、マイナス、二乗、平方根）をバラバラの記号列として捉えてしまっている点にあります。

座標平面上にある2点、$A(x_1, y_1)$ と $B(x_2, y_2)$ の距離を $d$ と置いたとき、教科書に記載されている二点間の距離 公式は以下の通りです。

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

この数式を前にしたとき、暗記型の思考では「引いて二乗して足してルート」という呪文を反復しがちですが、図形的な視点を持てば公式の証明 導出はわずか5秒で完結します。

点 $A$ から $x$ 軸に平行な線を引き、点 $B$ から $y$ 軸に平行な線を引いて交わる点を $C$ とします。この交点 $C$ の座標は $(x_2, y_1)$ となり、三角形 $ABC$ は直角三角形になります。ここで各辺の長さに着目してください。

• 底辺 $AC$ の長さ：$x$ 座標同士の差である $|x_2 - x_1|$
• 高さ $BC$ の長さ：$y$ 座標同士の差である $|y_2 - y_1|$
• 斜辺 $AB$ の長さ：求めたい二点間の距離 $d$

直角三角形の3辺の間には、中学校で徹底的に叩き込まれた三平方の定理（ピタゴラスの定理）「$a^2 + b^2 = c^2$」が成立します。これを三角形 $ABC$ にそのまま当てはめると、次式が導かれます。

$$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$$

距離 $d$ は必ず正の数（$d > 0$）であるため、両辺の平方根を取ることで、冒頭の公式が自然と姿を現します。二乗することで正負の符号は必ずプラスになるため、「$x_1$ から $x_2$ を引くのか、$x_2$ から $x_1$ を引くのか」で悩む必要もありません。さらに、片方の点が原点 $O(0, 0)$ であれば、$(x_1, y_1) = (0, 0)$ を代入するだけで、座標平面 原点からの距離は $\sqrt{x^2 + y^2}$ という極めてシンプルな形へと収束します。