内分点の公式を徹底解説！クロス掛けの覚え方と座標・ベクトルの解法

内分点の公式を徹底解説！クロス掛けの覚え方と座標・ベクトルの解法を徹底追究! 知っておきたい 情報と解説を分かりやすく展開します。

多くの受験生がテストで混乱する「文字の組み合わせ問題」は、視覚的な配置ルールを覚えるだけで解消されます。

手元の計算用紙に、比の「$m : n$」と点「$A(a) \quad B(b)$」を上下に並べて書いてみてください。

左の比 $m$ は右の座標 $b$ へ、右の比 $n$ は左の座標 $a$ へと、対角線上に矢印を交差（クロス）させて掛け算を行います。分母はシンプルに比の足し算「$m + n$」を置くだけです。この「クロス掛け」のイメージを指先でなぞる習慣をつけるだけで、ケアレスミスは激減します。

なぜこの形になるのか、簡単な証明で理屈を確認しておくと記憶の定着がより強固になります。

点 $A(a)$、$B(b)$（ただし $a < b$）の間に点 $P(x)$ があるとき、線分の長さは $AP = x - a$、$PB = b - x$ と表せます。この長さの比が $m : n$ であるため、比例式を立てます。

$$(x - a) : (b - x) = m : n$$

内項の積と外項の積は等しいので、

$$m(b - x) = n(x - a)$$

これを展開して $x$ について整理します。

$$mb - mx = nx - na$$

$$(m + n)x = na + mb$$

$$x = \frac{na + mb}{m + n}$$

比例式の変形から自然と「$m$ と $b$」「$n$ と $a$」が掛け合わされる様子が見て取れます。丸暗記ではなく、この1行の比例式が背景にあると理解しておくだけで安心感が大きく変わります。