チェバの定理の逆で差がつく！3直線が1点で交わる証明と記述の完全攻略

チェバの定理の逆で差がつく！3直線が1点で交わる証明と記述の完全攻略の全貌を詳しく解説してご紹介します。

チェバの定理の逆の威力を体感できる典型例が、数学Aで学ぶ「三角形の五心の存在証明」です。教科書では自明として扱われがちな重心や内心、垂心の性質も、この定理を用いれば流れるように証明できます。

例えば、三角形ABCの3つの中線が1点で交わること（重心の存在）を示す場合、各中線は向かい合う辺をそれぞれ 1 : 1 に内分するため、比の積は必然的に「(1/1) × (1/1) × (1/1) = 1」となります。これだけで3つの中線が1点で交わることが確定します。

また、内心の証明では「角の二等分線定理」を各頂点に適用します。角A, B, Cの二等分線が対辺と交わる点をP, Q, Rと置くと、各辺の比は以下のように表せます。

BP / PC = c / b , CQ / QA = a / c , AR / RB = b / a

これら3つの比を掛け合わせると、分子と分母の a, b, c がすべて相殺されて値は厳密に「1」となります。したがって、チェバの定理の逆により、3本の角の二等分線が1点（内心）で交わることが鮮やかに示されるのです。