単調増加とは？広義・狭義の違いと微分の条件をプロが徹底解説

単調増加とは？広義・狭義の違いと微分の条件をプロが徹底解説に関する基本知識を徹底的にまとめました。要点を確実におさえることができます。

微分可能な関数において、単調増加性を判定する強力なツールが導関数（微分）です。高校数学の微分法において、導関数 $f'(x)$ と増減表の記述には知っておくべき決定的なルールが存在します。

多くの教科書で紹介される単調増加の微分条件（狭義）は以下の定理に基づいています。

「ある区間で常に $f'(x) \ge 0$ であり、かつ $f'(x) = 0$ となる点がその区間内で連続した幅を持たず、孤立した点（飛び飛びの点）であるならば、関数 $f(x)$ はその区間で狭義単調増加である」

この定理を象徴する単調増加関数の具体例が、3次関数 $f(x) = x^3$ です。この関数を微分すると $f'(x) = 3x^2$ となります。$x = 0$ において $f'(0) = 0$ となり、接線の傾きは一瞬だけ水平になります。しかし、$x \ne 0$ の範囲では常に $f'(x) > 0$ です。任意の $x_1 < x_2$ に対して必ず $x_1^3 < x_2^3$ が成立するため、$f(x) = x^3$ は実数全体で間違いなく狭義単調増加です。増減表を書く際にも矢印は途切れず、右斜め上へと向かい続けます。

その他にも、実数全体で $f'(x) > 0$ となる指数関数 $f(x) = e^x$ や、定義域 $x > 0$ で $f'(x) = 1/x > 0$ となる対数関数 $f(x) = \log x$ などは、導関数が0にすらならない最もわかりやすい狭義単調増加関数です。

この考え方は、連続な関数だけでなく離散的な対象である数列の単調増加にもそのまま適用されます。数列 $\{a_n\}$ において、すべての自然数 $n$ に対して

・$a_{n+1} > a_n$ が成り立つ場合：狭義単調増加数列（例：$1, 3, 5, 7, \dots$）
・$a_{n+1} \ge a_n$ が成り立つ場合：広義単調増加数列（単調非減少数列、例：$1, 2, 2, 3, 4, 4, \dots$）

数列の極限を論じる際、極めて重要な「有界な単調数列は収束する」という実数の完備性に関する基本定理では、広義単調増加（値が頭打ちになって留まる状態）の概念が決定的な役割を果たします。